Dãy số nào dưới đây là dãy số bị chặn?
A. u n = n n + 1
B. u n = n n + 1
C. u n = 2 n + 1
D. u n = n + 1 n
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.
• Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{n + 1 + 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}}\)
Xét hiệu:
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 2}}{{n + 3}} - \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^2} - \left( {n + 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{\left( {{n^2} + 4n + 4} \right) - \left( {{n^2} + n + 3n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2} + 4n + 4 - {n^2} - n - 3n - 3}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
• Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\)
\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:
\(n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1 \Leftrightarrow {u_n} < 1\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.
\(n \ge 1 \Leftrightarrow n + 2 \ge 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \ge 3 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 2}} \ge 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_n} \ge \frac{2}{3}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
Chọn A.
Trong các dãy số ( u n ) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? u n = n + 1 n
B ị c h ặ n d ư ớ i v ì u n ≥ 2 , ∀ n ∈ N ∗
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) \({u_n} = n - 1\);
b) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\);
c) \({u_n} = sin\;n\;\);
d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{n^2}\).
a) Ta có: \(n \ge 1\; \Rightarrow n - 1 \ge 0\; \Rightarrow {u_n} \ge 0,\;\forall \;n \in {N^*}\;\)
Do đó, \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới bởi 0.
\(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(n - 1 < M,\;\forall \;n \in {N^*}\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\forall n \in {N^*},{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} > 0.\\{u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1,\forall n \in {N^*}\\ \Rightarrow 0 < {u_n} < 1\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
c) Ta có:
\( - 1 < \sin n < 1\)
\( \Rightarrow - 1 < {u_n} < 1,\forall n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
d) Ta có:
Nếu n chẵn, \({u_n} = - {n^2} < 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Nếu n lẻ, \({u_n} = {n^2} > 0\), \(\forall n \in {N^*}\).
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) không bị chặn.
Trong các dãy số u n sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? u n = sin n + cos n .
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) \({u_n} = {n^2} + 2\)
b) \({u_n} = - 2n + 1\)
c) \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
b) Ta có:
\(\begin{array}{l} - 2n \ge - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow - 2n + 1 \ge - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn dưới
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Dãy số bị chặn
Dãy số nào dưới đây là dãy số bị chặn?
A. u n = n n + 1
B. u n = n 2 + 1
C. u n = 2 n + 1
D. u n = n + 1 n
Xét đáp án A ta có:
Vậy dãy số u n = n n + 1 là dãy số bị chặn.
Chọn A.
Trong các dãy số ( u n ) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? u n = 2 n - n 2
B ị c h ặ n t r ê n v ì u n ≤ 1 , ∀ n ∈ N ∗ .
Trong các dãy số (\(u_n\)) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
a) \(u_n=2n-n^2\)
b) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\)
c) \(u_n=\sqrt{n^2-4n+7}\)
d) \(u_n=\dfrac{1}{n^2-6n+11}\)
a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)
Trong các dãy số ( u n ) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? u n = n 2 - 4 n + 7
B ị c h ặ n d ư ớ i v ì u n ≥ 3 , ∀ n ∈ N ∗